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Álgebra A 62

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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA

Unidad 6

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9. Sean $T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}$ la transformación lineal $T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}\right)$, $w=(2,3)$, $S=\langle(1,2,1)\rangle$ y $L=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: 3 x_{1}-2 x_{2}=0\right\}$. Hallar $T(S)$, $T^{-1}(w)$ y $T^{-1}(L)$.

Respuesta

1) $T(S)$

$S=\langle(1,2,1)\rangle$

$T(S) = \langle T(1,2,1) \rangle$

Para encontrar cuánto vale $T(1,2,1)$ usamos la expresión de $T$ que nos da el enunciado -> $T(1,2,1) = (-1,3)$

Con lo cual,

$T(S) = \langle (-1,3)\rangle$

2) $T^{-1}(w)$

Como $w=(2,3)$, buscamos los vectores de $\mathbb{R}^3$ que verifican que

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

El sistema de ecuaciones a resolver es

$\begin{cases} x_1 - x_2 = 2 \\ x_2 + x_3 = 3 \end{cases}$

Despejando, de acá tenemos que

$x_2 = 3 - x_3$

$x_1 = 5 - x_3$

Por lo tanto, los vectores que estamos buscando son todos estos...

$(x_1,x_2,x_3) = (5-x_3,3-x_3,x_3) = x_3 \cdot (-1,-1,1) + (5,3,0)$ con $x_3 \in \mathbb{R}$

3) $T^{-1}(L)$

Primero voy a pasar a $L$ a generadores, una forma de escribirlo es así:

$L = \langle (2,3) \rangle$

Asi que los vectores que estamos buscando verifican esta ecuación matricial:

$\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2k \\ 3k \end{pmatrix}$

El sistema de ecuaciones es:

$\begin{cases} x_1 - x_2 = 2k \\ x_2 + x_3 = 3k \end{cases}$

Despejando, me queda que...

$x_2 = 3k - x_3$

$x_1 = 5k - x_3$

Es decir, los vectores $(x_1,x_2,x_3)$ que estamos buscando son tooodos estos...

$(x_1,x_2,x_3) = (5k-x_3, 3k-x_3, x_3) = k \cdot (5,3,0) + x_3 \cdot (-1,-1,1)$, con $k, x_3 \in \mathbb{R}$

Por lo tanto, son todos los vectores que pertenecen a este subespacio:
$T^{-1}(L) = \langle (5,3,0), (-1,-1,1) \rangle$
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